专升本数学严选800题 - 强化部分

函数、极限与连续

一、单项选择题(题号512-527)

512. 函数 $f(x)=2\cos\frac{x}{3}+3\sin\frac{x}{2}$ 的周期为 ( )
     A. $\pi$ B. $2\pi$ C. $12\pi$ D. $24\pi$
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     答案: C

     解析: $2\cos\frac{x}{3}$ 的周期为 $T_1=\frac{2\pi}{1/3}=6\pi$。

     $3\sin\frac{x}{2}$ 的周期为 $T_2=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi$。

     函数 $f(x)$ 的周期为 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数 $12\pi$。
513. 下列说法正确的是 ( )
     A. 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续,则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微 B. 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续,$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有极限 C. 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有定义,则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处极限存在 D. 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处极限存在,$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有定义
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     答案: B

     解析: A错误:连续不一定可微,如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可微。

     B正确:连续的定义要求极限存在且等于函数值,所以连续必有极限。

     C错误:有定义不代表极限存在,如 $f(x)=\begin{cases} 1, & x\geq 0 \\ -1, & x<0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处有定义但极限不存在。

     D错误:极限存在不要求函数在该点有定义,如 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处极限为1,但函数在 $x=0$ 处无定义。
514. 下列说法正确的是 ( )
     A. 若极限 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 和 $\lim_{x\to x_0}g(x)$ 都存在,则极限 $\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$ 存在 B. 若极限 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 和 $\lim_{x\to x_0}g(x)$ 都存在,则极限 $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ 存在 C. 若极限 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在,$\lim_{x\to x_0}g(x)$ 不存在,则极限 $\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$ 存在 D. 若极限 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 和 $\lim_{x\to x_0}g(x)$ 都不存在,则极限 $\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$ 不存在
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     答案: A

     解析: A正确:极限的四则运算法则,和差积商的极限(分母不为0)等于极限的和差积商。

     B错误:要求 $\lim_{x\to x_0}g(x)\neq 0$。

     C错误:存在+不存在=不存在。

     D错误:不存在+不存在可能存在,如 $f(x)=\frac{1}{x}$, $g(x)=-\frac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ 时都不存在,但 $f(x)+g(x)=0$ 极限存在。
515. 下列极限计算中正确的是 ( )
     A. $\lim_{n\to\infty}(-1)^n=-1$ B. $\lim_{n\to\infty}\sin n=\infty$ C. $\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{e^x|x-1|}=\frac{1}{e}$ D. $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\arctan x=0$
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     答案: D

     解析: A错误:$(-1)^n$ 在 $n\to\infty$ 时振荡,极限不存在。

     B错误:$\sin n$ 在 $n\to\infty$ 时振荡于 $[-1,1]$,不是无穷大。

     C错误:当 $x\to 1^+$ 时, $|x-1|=x-1$,极限为 $\frac{1}{e}$; 当 $x\to 1^-$ 时, $|x-1|=1-x$,极限为 $-\frac{1}{e}$。左右极限不等,极限不存在。

     D正确:$\arctan x$ 有界($|\arctan x|<\frac{\pi}{2}$), $\frac{1}{x}\to 0$,有界量乘无穷小量为无穷小量。
516. 下列极限运算中正确的是 ( )
     A. $\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)=\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\right)=0$ B. $\lim_{x\to 1}\frac{\sin\pi x}{3x^2-2x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{\pi\cos\pi x}{6x-2}=\lim_{x\to 1}\frac{-\pi^2\sin\pi x}{6}=0$ (洛必达法则) C. $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2e^x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}=-\frac{1}{2}$ D. $\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\cos x}{1-\sin x}$ 不存在 (洛必达法则)
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     答案: C

     解析: A错误:不能直接将 $\sin x$ 替换为 $x$,这是 $\infty-\infty$ 型,需要通分处理。

     B错误:第一次使用洛必达法则后得到 $\frac{\pi\cos\pi x}{6x-2}$,代入 $x=1$ 得 $\frac{-\pi}{4}$,已经不需要第二次使用洛必达法则。

     C正确:当 $x\to 0$ 时, $e^x\to 1$,所以 $\frac{1}{e^x}\to 1$; 又 $\cos x-1\sim -\frac{1}{2}x^2$,所以极限为 $-\frac{1}{2}$。

     D错误:洛必达法则要求导数比的极限存在或为无穷大,这里 $\frac{1+\cos x}{1-\sin x}$ 振荡,洛必达法则失效。正确做法: $\frac{x+\sin x}{x+\cos x}=\frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}\to\frac{1+0}{1+0}=1$。
517. 极限 $\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=$ ( )
     A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $\infty$
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     答案: A

     解析: $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}$,使用洛必达法则两次:

     $=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}=0$。

     或利用结论:指数函数增长快于任何幂函数,所以极限为0。
518. 极限 $\lim_{x\to+\infty}2x(\sqrt{1+x^2}-x)=$ ( )
     A. $3$ B. $2$ C. $1$ D. $0$
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     答案: C

     解析: 有理化处理:

     $\sqrt{1+x^2}-x=\frac{(\sqrt{1+x^2}-x)(\sqrt{1+x^2}+x)}{\sqrt{1+x^2}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}$。

     原式 $=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{1/x^2+1}+1}=\frac{2}{1+1}=1$。
519. 极限 $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^3+3x^2}{x^2+x+2}-x\right)=$ ( )
     A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $3$
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     答案: C

     解析: 通分:

     $\frac{x^3+3x^2}{x^2+x+2}-x=\frac{x^3+3x^2-x(x^2+x+2)}{x^2+x+2}=\frac{x^3+3x^2-x^3-x^2-2x}{x^2+x+2}=\frac{2x^2-2x}{x^2+x+2}$。

     $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-2x}{x^2+x+2}=\lim_{x\to\infty}\frac{2-2/x}{1+1/x+2/x^2}=2$。
520. 极限 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+3}\right)=$ ( )
     A. $1$ B. $0$ C. $2$ D. 不存在
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     答案: B

     解析: 使用夹逼准则:

     $\frac{3n}{n^2+3}\leq\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+3}\leq\frac{3n}{n^2+1}$。

     $\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{n^2+3}=0$, $\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{n^2+1}=0$。

     由夹逼准则,原极限为0。
521. 设函数 $f(x)=2^x$,则 $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln[f(1)f(2)\cdots f(n)]}{n^2}=$ ( )
     A. $\frac{1}{2}\ln 2$ B. $\ln 2$ C. $1$ D. $0$
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     答案: A

     解析: $f(1)f(2)\cdots f(n)=2^1\cdot 2^2\cdot\cdots\cdot 2^n=2^{1+2+\cdots+n}=2^{\frac{n(n+1)}{2}}$。

     $\ln[f(1)f(2)\cdots f(n)]=\frac{n(n+1)}{2}\ln 2$。

     原式 $=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)\ln 2}{2n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+1/n)\ln 2}{2}=\frac{\ln 2}{2}$。
522. 下列说法中正确的是 ( )
     A. 若 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$,则 $f(x),g(x)$ 是 $x\to a$ 时的等价无穷小 B. 若 $f(x)$ 是 $x\to a$ 时的无穷小量,则 $\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\infty$ C. 无穷小量是很小的数 D. 最高阶的无穷小是 $0$
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     答案: A

     解析: A正确:等价无穷小的定义就是 $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=1$。

     B错误:要求 $f(x)\neq 0$ 在 $a$ 的某去心邻域内,且 $f(x)$ 是变量不是常数0。

     C错误:无穷小量是以0为极限的变量,不是很小的常数。

     D错误:0是无穷小量,但无穷小量没有"最高阶",阶数可以任意高。
523. 已知极限 $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\ln(1+x^3)}(a-e^x)=b$,则 ( )
     A. $a=1$, $b=-\frac{1}{2}$ B. $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ C. $a=0$, $b=-\frac{1}{2}$ D. $a=0$, $b=\frac{1}{2}$
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     答案: A

     解析: 当 $x\to 0$ 时, $1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2$, $\ln(1+x^3)\sim x^3$。

     $\frac{1-\cos x}{\ln(1+x^3)}\sim\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2x}\to\infty$。

     要使极限存在且为有限值 $b$,需要 $(a-e^x)\to 0$,即 $a-1=0$,所以 $a=1$。

     此时 $a-e^x=1-e^x\sim -x$。

     原式 $=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^3}\cdot(-x)=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{2}x^3}{x^3}=-\frac{1}{2}$。
524. 当 $x\to 0$ 时,$\sin 3x-3\sin x$ 是 $x^3$ 的 ( )
     A. 高阶无穷小 B. 同阶无穷小,但不是等价无穷小 C. 低阶无穷小 D. 等价无穷小
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     答案: D

     解析: 使用泰勒展开:

     $\sin 3x=3x-\frac{(3x)^3}{6}+o(x^3)=3x-\frac{9}{2}x^3+o(x^3)$。

     $3\sin x=3(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))=3x-\frac{1}{2}x^3+o(x^3)$。

     $\sin 3x-3\sin x=-\frac{9}{2}x^3+\frac{1}{2}x^3+o(x^3)=-4x^3+o(x^3)$。

     $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x-3\sin x}{x^3}=-4$,是同阶无穷小但不是等价无穷小。

     更正:比值为-4,所以是同阶非等价无穷小,答案为B。
525. 当 $x\to 0$ 时,下列选项中与 $e^{x^4-2x}-1$ 是同阶无穷小的是 ( )
     A. $(1+x)^{x^2}-1$ B. $\sqrt{1+3x}-1$ C. $x^2\ln(1+x^2)$ D. $e^{x^4}-1$
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     答案: B

     解析: 当 $x\to 0$ 时, $e^{x^4-2x}-1\sim x^4-2x\sim -2x$(一阶无穷小)。

     A: $(1+x)^{x^2}-1=e^{x^2\ln(1+x)}-1\sim x^2\ln(1+x)\sim x^3$(三阶)。

     B: $\sqrt{1+3x}-1=(1+3x)^{1/2}-1\sim\frac{1}{2}\cdot 3x=\frac{3}{2}x$(一阶)。

     C: $x^2\ln(1+x^2)\sim x^4$(四阶)。

     D: $e^{x^4}-1\sim x^4$(四阶)。

     所以B与题目同阶(都是一阶)。
526. $x\to 0$ 时,$\sec x-1$ 是 $\frac{x^2}{2}$ 的 ( )
     A. 高阶无穷小 B. 同阶但非等价无穷小 C. 低阶无穷小 D. 等价无穷小
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     答案: D

     解析: $\sec x-1=\frac{1}{\cos x}-1=\frac{1-\cos x}{\cos x}$。

     当 $x\to 0$ 时, $1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$, $\cos x\to 1$。

     所以 $\sec x-1\sim\frac{x^2}{2}$。

     $\lim_{x\to 0}\frac{\sec x-1}{x^2/2}=1$,是等价无穷小。
527. 当 $x\to 0$ 时,下列选项中与 $\sin x-x$ 是等价无穷小的是 ( )
     A. $\frac{1}{6}x\arctan x^2$ B. $x-\ln(1+x)$ C. $\frac{1}{3}(e^{\sin x}-e^{\tan x})$ D. $\int_0^x t\sin tdt$
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     答案: C

     解析: 首先确定 $\sin x-x$ 的阶数:

     $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$,所以 $\sin x-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\sim -\frac{x^3}{6}$(三阶)。

     A: $\frac{1}{6}x\arctan x^2\sim\frac{1}{6}x\cdot x^2=\frac{x^3}{6}$,但符号为正,与 $-\frac{x^3}{6}$ 不等价。

     B: $x-\ln(1+x)\sim x-x+\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}$(二阶),不同阶。

     C: $e^{\sin x}-e^{\tan x}=e^{\tan x}(e^{\sin x-\tan x}-1)\sim e^{\tan x}(\sin x-\tan x)$。

     $\sin x-\tan x=\sin x(1-\frac{1}{\cos x})=\sin x\cdot\frac{\cos x-1}{\cos x}\sim x\cdot(-\frac{x^2}{2})=-\frac{x^3}{2}$。

     所以 $\frac{1}{3}(e^{\sin x}-e^{\tan x})\sim\frac{1}{3}\cdot 1\cdot(-\frac{x^3}{2})=-\frac{x^3}{6}$,与 $\sin x-x$ 等价。

     D: $\int_0^x t\sin tdt\sim\int_0^x t^2dt=\frac{x^3}{3}$(符号为正,不等价)。